História da Trigonometria

:::História:::

·         Muitas das vezes, existem pessoas se perguntando, mas como calcular a medida do raio da Terra? Ou a distância da Terra à Lua? Ou até a distância da Terra ao Sol?

Esses tipos de dimensões sempre fascinaram os cientistas. Com isto o astrônomo Aristarco de Samos, foi um dos primeiros a calcular as distâncias que separam da Terra à Lua e ao Sol. Para isto, ele utilizou das relações entre as medidas dos lados e as medidas dos lados e as medidas dos ângulos internos dos Triângulos Retângulos. Esta parte das Relações recebe o nome de Trigonometria, do grego Trigono (Triângulo) e metria(medida), e daí que surgiu a necessidade de medir distâncias inacessíveis.

:::Seno:::

·         O Seno é uma das Funções Trigonométricas, define-se o Seno como sendo a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo retângulo. O nome seno originou-se através dos Árabes que haviam traduzido alguns escritos da trigonometria dos sânscritos (língua da Índia)

::Cosseno::

·         Cosseno é uma das funções da Trigonometria. É muito fácil descobri-lo em um triângulo retângulo, pois a proporção do mesmo está entre o cateto adjacente e a hipotenusa deste triângulo.Os valores que um cosseno pode conter, se repetem em cada 360º, ou 2 radianos.

::Tangente::

·         A Tangente é mais uma das funções trigonométricas, mas esta é um pouco diferente do que as acima, pois esta não é ligada à hipotenusa, e sim é ligada o cateto oposto com o cateto adjacente.

Razões Trigonométricas

Catetos e Hipotenusa
   Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
   Observe a figura:

Catetos:          e 
Hipotenusa:  

Seno, Cosseno e Tangente
   Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa:    , m() = a.

Catetos:         , m() = b.
                       , m() = c.
Ângulos:         ,   e  .

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

• Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Variações Razões Trigonométricas

Mostrando que as variações das razões trigonométricas dependem da medida do ângulo e não do tamanho do triângulo, veremos o exemplo a seguir:

Consideremos um triângulo retângulo, cujos comprimentos dos lados sejam 3,4 e 5 centímetros. Como, dois triângulos são semelhantes se tiverem lados correspondentes proporcionais, um triângulo cujos comprimentos dos lados sejam, 6, 8e 10 centímetros, é um triângulo semelhante ao inicial. Sendo semelhantes, os seus ângulos têm a mesma amplitude:
Seno β = 3/5
Cosseno β = 4/5
 Tangente β = 3/4
Seno β = 6/10 = 3/5
Cosseno β = 8/10 = 4/5
Tangente β = 6/8 = 3/4
Calculemos as razões trigonométricas para o ângulo, em ambos os triângulos:

Ou seja, obtivemos os mesmos valores nos dois triângulos, isto quer dizer que, as razões trigonométricas não dependem do comprimento dos lados dos triângulos retângulos, dependem apenas da amplitude do ângulo considerado.

Circulo Trigonométrico

A Trigonometria é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente, dependendo dos lados considerados na proporção.
Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior. Abaixo uma figura específica do Circulo Trigonométrico.

Características das Funções Trigonométricas

1.  Função y = sen x:
       a)  A função seno é periódica, já que:
sen (x + 2) = sen x
em que o período da função é t = 2;
        b)  O domínio da função é todo o conjunto R, e o contradomínio da função é [-1,1];
        c)  O valor máximo da função é 1 em x = /2 e o valor mínimo da função é -1 em x = 3/2;
        d)  A função é contínua em todo o seu domínio;
        e)  É uma função crescente no intervalo [0,/2] e [3/2,2], e decrescente no intervalo [/2,/3,/2];
        f)  A função é ímpar, já que:
sen (-x) = - sen x
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).


 2.  Função y = cos x:
       a)  A função co-seno é periódica, pois:
cos (x + 2 ) = cos x
e o período da função é T = 2;
       b)  O domínio é todo o conjunto dos números reais R, e o contradomínio da função é [-1,1];
       c)  O valor máximo da função é 1 em x = 0 ou  x = 2  e o valor mínimo da função é -1 em x = ;
      d)  A função é contínua em todo o seu domínio;
      e)  É uma função crescente no intervalo [,2] e decrescente no intervalo [0,];
       f)  A função é par, já que:
cos x = cos (-x)
e o gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

 

3.  Função y = tg x:
       a)  A função tangente é periódica, já que:
tg (x +  ) = tg x
em que o período da função é t = ;
        b)  O domínio da função é R/ {/2 - k, k  Z }, e o contradomínio da função é todo o conjunto R;
        c)  Esta função não tem extremos locais;
        d)  A função é contínua em todo o seu domínio;
        e)  É uma função crescente em todos os pontos do domínio;
        f)  A função é ímpar, pois:
tg (-x) = - tg x
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

 

Funções Trigonométricas

Funções trigonométricas são FUNÇÕES ANGULARES, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos COMPLEXOS.

Funções Trigonométricas

Função seno

Gráfico de f(x) = sen x
Associa a cada número real x o número y = senx

• Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R
• Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im = [-1,1]
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
• Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função f(x) = sen x, a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π.

Função cosseno

Gráfico de f(x) = cos x
Associa a cada número real x o número y = cosx

• Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R
• Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im = [-1,1]
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
• Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cosenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π.

Função tangente

Gráfico de f(x) = tg x
Associa a cada número real x o número y = tgx

• Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de cosx = 0 (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o coseno.
• Conjunto Imagem: 
• Gráfico: Tangentóide.
• Período: π

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